Наставница Эйнштейна. Как Эмми Нётер изобрела современную физику - Ли Филлипс

и т. д. единицы; сумма на каждом банковском счете делится на миллион. В экономике ничего не меняется – только становится проще обсуждать денежные вопросы. На чеках меньше нулей. Денежная единица просто меняет масштаб. Чтобы купить буханку хлеба, нужно работать столько же минут, что и раньше. В данном случае преобразование – изменение единицы измерения денег; то, что остается после этого преобразования тождественным себе – это экономическая система страны. Экономика симметрична в отношении уменьшения денежной единицы. Временами различные правительства пользуются этой симметрией, чтобы уменьшить денежную единицу после продолжительных периодов гиперинфляции.

Другой пример: в США тот этаж здания, на котором расположен вестибюль, где вы оказываетесь, войдя в помещение с улицы, называется первым. Нумерация этажей начинается с единицы (умолчим о нелепом предрассудке, из-за которого 13-й этаж пропускают). В некоторых других странах (например, Франции) первый этаж – это тот, что расположен над вестибюлем. Можно описать эту разницу, представив, где мы помещаем воображаемый нулевой этаж. В США нулевой этаж – это первый подвальный, тогда как во Франции – тот, на котором располагается вестибюль (rez-de-chaussée). Вообразим, как в один прекрасный день Франция решает взяться за ум и принять американскую систему. Разумеется, французские многоквартирные дома и отели не уйдут внезапно под землю и не взлетят; они также не растянутся и не сожмутся. Заключающееся в перемещении нулевого этажа преобразование не повлияет на реальность самих зданий. Их высота и расположение симметричны относительно изменения традиции.

В обоих примерах мы наблюдаем преобразование, не влияющее на реальность: симметрию в более широком смысле слова. Именно этот более широкий смысл я буду с этих пор подразумевать каждый раз, когда говорю о симметрии.

* * *

О симметрии достаточно. Вторая важная идея – это идея закона сохранения, правила, согласно которому сохраняющаяся величина с течением времени не меняет значения. Эта идея еще проще, чем идея симметрии. По сути, глубина теоремы Нётер во многом обусловлена тем, что показывает скрытую взаимосвязь между двумя настолько простыми идеями, которыми в значительной степени пронизана наша реальность и то, как мы ее описываем.

Примером закона сохранения является закон сохранения массы: древняя идея неизменности общего количества вещества. Можно разделить вещество, из которого состоит реальность, на части поменьше, и можно произвольно соединять эти части, получая различные их комбинации. Но общее количество вещества никогда не изменится. Нельзя создать вещество; нельзя убрать его из мира. Можно даже сжечь кусок дерева – но если вы соберете весь дым, пепел и водяной пар, то их общая масса будет равна массе исходного полена. Вещество может менять форму, но количество его неизменно. Возможно, некоторые читатели знают, что закон сохранения вещества не вполне верен; из-за уравнения E = mc2 масса и энергия могут превращаться друг в друга. Но я описываю закон сохранения в таком виде, в каком он был известен с древности; можно рассмотреть его следствия, даже если он не способен в точности описать реальный мир. В любом случае закон можно спасти, заменив массу конкретным соотношением массы и энергии.

Принципы сохранения не противоречат интуитивным представлениям – так же, как и симметрия. Некоторые люди поддаются соблазну считать, будто их удача подчиняется тому же закону. Если с ними случается что-то хорошее, они переживают, ожидая неприятностей; следующая за этим неудача подтверждает их убеждение, что каждый счастливый случай должен быть уравновешен другим, противоположным по вектору. Сходный предрассудок известен специалистам по теории вероятности под названием ошибка игрока. Она представляет собой символ веры, разделяемый многими завсегдатаями казино. Эти люди, например, верят, что если на конкретном колесе рулетки выпало красное, то это как-то повышает шансы на то, что в следующий раз выпадет черное. Это убеждение, на котором основаны бесчисленные и беспочвенные системы размещения ставок, вырастает из незыблемой уверенности, будто должна существовать некая причинно-следственная сила, уравнивающая шансы: закон сохранения вероятностей. Разумеется, ошибка игрока и другие сходные предрассудки – это примеры целиком вымышленных законов сохранения, но их вездесущность показывает, как принципы сохранения укоренены в наших представлениях о том, как должен функционировать мир.

В качестве последнего примера приведу более обоснованный закон сохранения. Так называемый момент импульса, по сути, показывает, какую силу нужно применить, чтобы предмет перестал вращаться. Если вращающаяся вещь состоит из нескольких частей, момент ее импульса будет тем выше, чем быстрее крутятся эти части, чем они тяжелее и чем дальше они от центра вращения. Каждый видел вращающихся фигуристов, которые будто по волшебству начинают крутиться быстрее, стоит им сложить руки на груди. В этот момент вы наблюдаете сохранение момента импульса: чем ближе масса рук к центру вращения, тем быстрее вращается фигурист, чтобы момент импульса оставался тем же. Это не волшебство, а действие физического закона сохранения.

* * *

Теорема, которую Нётер доказала в 1918 году, выявила взаимосвязь между симметриями и законами сохранения. Однако остановиться на этом значит преуменьшить ее значение: теорема Нётер не просто показывает, какова связь между этими двумя идеями, но и доказывает, что это не две разные идеи, а одна и та же – и так было всегда.

Уже в самых ранних документальных свидетельствах долгой истории наших попыток упорядочить мироздание в той или иной форме присутствовали идеи симметрии и законов сохранения. Симметрия мыслится как идеал человеческого творчества и характеристика фундаментальной структуры реальности. Сохранение подразумевает представление о стабильности в условиях перемен, о том, что сберегается среди обманчивого круговорота случайности.

В век науки два этих древних принципа были точно сформулированы и получили математическое описание. Они превратились в инструмент вычислений, при этом так никогда и не утратив статуса великих символов фундаментальной структуры реальности.

До того, как Нётер сформулировала свою теорему, казалось, что симметрия и законы сохранения воплощают в себе разные аспекты этой фундаментальной структуры. Теорема же с математической точностью доказывает, что симметрия – это то же самое, что законы сохранения.

Теперь нам нужно уточнить, что значит «быть тем же самым». Я следовал общепринятой практике, называя теоремой Нётер то, что на самом деле является четырьмя теоремами, доказанными в одной статье 1918 года. Эти четыре теоремы представляют собой два математических утверждения и два утверждения, к ним обратных. Разница между первыми двумя утверждениями скорее техническая – они касаются разных классов симметрии; здесь нам нет нужды на этом останавливаться. Но чтобы в полной мере оценить значение теоремы Нётер, нам следует пояснить, что значит обратное утверждение.

Обратное утверждение – это утверждение, элементы которого меняются местами. Например, возьмем утверждение: «Все греческие философы смертны». Согласны вы с этим или нет, давайте сочтем его истинным. Обратным утверждением