Наставница Эйнштейна. Как Эмми Нётер изобрела современную физику - Ли Филлипс

своей долгой работе над обобщением этой теории и попытках включить в нее понятие тяготения и закончил последней, еще «сырой» версией своих уравнений гравитационного поля.

Неожиданный поворот сюжета состоял в том, что физик посвятил часть лекций рассказу математикам о математике[105]. Хотя в целом Эйнштейн оставался пока что дилетантом в большинстве областей математики (в сравнении со своей гёттингенской аудиторией), ему пришлось – с помощью друзей – набраться знаний о некоторых довольно-таки неочевидных особенностях недавно разработанных геометрических методов. Они были элементом того языка, в котором он нуждался для своего революционного геометрического описания тяготения. Для Эйнштейна было очень непросто изучить эту область математики быстро и достаточно хорошо, чтобы применять на практике. Как он писал физику Паулю Герцу: «Ты понятия не имеешь, что мне, математическому невежде, пришлось пережить, чтобы войти в эту гавань»[106].

Как бы нам ни хотелось узнать больше о судьбоносных беседах Эйнштейна и Гильберта в первую неделю их знакомства, сведений об этом, как объясняет историк математики Дэвид Э. Роу, просто нет: «Нам практически ничего не известно о том, что Гильберт с Эйнштейном обсуждали в течение недели, проведенной физиком в Гёттингене»[107].

Таинственная математика, знатоком которой пришлось стать Эйнштейну, начинается с неевклидовой геометрии, о которой я уже кратко упомянул в этой главе. В начале XVIII века (разумеется, в Гёттингене) Карл Фридрих Гаусс вывел математику на новый уровень – уровень детально проработанной теории искривленных поверхностей. Но хотя эта математика уже была очень сложной, касалась она лишь знакомых нам двухмерных поверхностей (например, поверхности шара), бывших частью повседневной, воспринимаемой зрением реальности. Еще до 1912 года Эйнштейн понял, что общая теория относительности должна быть теорией, описывающей искривленное четырехмерное пространство-время. Именно с этим он и просил Гроссмана помочь. Физик не знал, существует ли такая математика.[108]

Гроссман натолкнулся на математику Бернхарда Римана и обучил ею Эйнштейна. Риман разработал свои идеи о неевклидовой геометрии во множественных измерениях в диссертации, защищенной – да, именно в Гёттингене[109]. Гаусс был одним из рецензентов диссертации, которая его очень впечатлила[110].

Работавшие в Гёттингене в 1915 году математики были знакомы с римановой геометрией. Собственно, Герман Вейль (гёттингенский математик и бывший студент Гильберта) написал в 1913 году книгу о ней[111].

Хотя риманова геометрия в конечном счете легла в основу теории Эйнштейна, он нуждался в чем-то большем. Поскольку речь шла о физической теории, одной геометрии было недостаточно. Языком физики является математический анализ – математика, описывающая изменения и то, как меняется характер изменений. Большинство физических уравнений (и всех количественных методов исследований) содержит производные (или скорости изменения функции). Такие уравнения называются дифференциальными.

Впервые уравнениями такого типа воспользовался для описания физических процессов Ньютон. Его знаменитый второй закон, F = ma, приравнивает силу к произведению массы на ускорение; это дифференциальное уравнение, поскольку ускорение – это изменение скорости со временем, а скорость – изменение положения тела со временем. Следовательно, дифференциальное уравнение Ньютона – это утверждение, касающееся характера изменений. В этой форме уравнение обычно изучают студенты-физики, хотя в оригинальной формулировке Ньютона сила была равна изменению во времени импульса (произведения массы и скорости). Строго говоря, эта версия – более общая и функциональная форма второго закона, поскольку она напрямую применима к ситуациям, в которых меняется масса (например, когда в ракете сгорает топливо).

Нововведение Ньютона – описание физической реальности с помощью дифференциальных уравнений – было грандиозным. Эйнштейн описывал эту находку так: «…сформулировать закон движения в форме уравнений в полных дифференциалах – это, возможно, величайший из когда-либо кем-либо совершенных интеллектуальных подвигов»[112].

Пространство Ньютона мы сегодня назвали бы плоским. В его дифференциальном уравнении изменение скорости было любым преобразованием вектора скорости: разумеется, под этим подразумевалось изменение скорости, но также и любое отклонение от кратчайшего пути на плоскости – любое отступление от прямой, самого короткого пути между двумя точками. Сколь бы блестящи ни были дифференциальные уравнения Ньютона, они сообщают лишь об изменениях, происходящих в евклидовом пространстве.

Пространство Эйнштейна плоским не было, и его кратчайшие расстояния не были евклидовыми линиями. Он нуждался в некоем языке, который позволил бы записать его дифференциальные уравнения, описывающие искривленное пространство.

Эйнштейну нужно было осуществлять математический анализ в искривленном, четырехмерном пространстве-времени. Здесь Гроссман также нашел подходящую математическую литературу, которую они исследовали вместе с Эйнштейном. То была математика, позволяющая исследовать физические процессы в римановом пространстве. Одним из ее центральных объектов был тензор; эту область математики часто называют тензорным исчислением, а также подчас исчислением Риччи по имени одного из его разработчиков. Как ни странно, эта форма исчисления была разработана не гёттингенскими математиками, а двумя итальянцами, Туллио Леви-Чивитой и его учителем Грегорио Риччи-Курбасто. В 1915 году тензорное исчисление было последним словом в математике. Леви-Чивита и Риччи-Курбасто еще были живы, и, более того, Эйнштейн переписывался с Леви-Чивита, обсуждая относительность. Эйнштейн стал настоящим экспертом по этой новой математике; через несколько лет он уже знал о ней намного больше, чем почти все математики, за исключением ее изобретателей. Как оказалось, Эйнштейну пришлось объяснять гёттингенским математикам именно это новое тензорное исчисление.

* * *

Я объясню несколько простых математических понятий, чтобы познакомить вас с терминологией и помочь оценить, чего именно пытались добиться ученые и математики. Если вы поймете несколько технических терминов так, как их применяют математики, то это поможет не запутаться в общих рассуждениях.

Один из объектов, важных во всех областях математики, называется функцией. Это отображение или правило, устанавливающее соответствие одних чисел с другими. Если вы положите некую сумму на банковский счет, на который постоянно начисляются какие-то проценты, и эти проценты также будут перечисляться на тот же самый счет, то, как вам, возможно, известно, со временем сумма будет расти экспоненциально из-за эффекта сложного процента. Если вы составите таблицу, в которой отметите, сколько денег у вас будет каждый месяц, эта таблица будет представлять собой функцию: она связывает одно множество чисел (месяцы) с другим (баланс на вашем счете). Эта таблица – пример непрерывной функции, отображающей связь времени и денег.

Математический анализ – это исследование изменений функций. Скорее, этим занимается одно из направлений математического анализа – дифференциальное исчисление. Он может ответить на вопрос, насколько быстрее будут расти ваши деньги при более высокой процентной ставке.

Вектор можно представить себе как стрелу в пространстве с одним, двумя, тремя или (и здесь воображение пасует) большим числом измерений – даже бесконечным множеством измерений. Крайне важно, что векторы обладают реальностью, не зависящей от конкретных чисел, используемых для описания их координат. Вы знакомы с этой концепцией, если пользовались