Экономическая эволюция. Новый взгляд на мальтузианство, этнический отбор и теорию системной конкуренции - Лэминь У

для выживания не стали товарами Гиффена, при прочих равных условиях экономика с более ориентированным на полезные продукты (продукты для выживания) обществом и культурой будет иметь более высокое (более низкое) равновесное благосостояние на душу населения.

Из этих двух теорем одна связана со структурой производства, а другая — с социальной культурой. В каждой из них по два утверждения. Первое (А) используется для анализа влияния технологии (или культуры), а второе (Б) — для сравнения между различными обществами. Все утверждения содержат условия, исключающие множественные равновесия. Условием утверждения А стало «положительное технологическое (или культурное) воздействие». Условие утверждения Б состоит в том, что «продукты для выживания не стали товарами Гиффена». Эти два условия не слишком строгие, поэтому теорема имеет хорошую применимость.

Теперь приступим к доказательству теоремы. Сначала я сформулирую шесть предположений, которых она требует. Из них предположение 1 — решающее, о противоречии между группой и индивидом, гарантирующем существование двух секторов. Предположения 2–6 призваны превратить модель в знакомую нам картину.

Вот эти предположения:

1. Предположение о конфликте интересов: функция полезности U(E) не является преобразованием функции темпа роста населения n(E).

2. Предположение о гомогенности: люди имеют одинаковые предпочтения.

3. Предположение о строгой монотонности: функция полезности U(E) и функция темпов роста населения n(E) строго увеличивают потребление E.

4. Предположение об эндаумент-экономике: представим эндаумент-экономику, где рабочая сила не становится фактором производства. Когда численность населения равна H, набор потребительских предпочтений индивида составляет 1/H от общего набора производственных возможностей. (До тех пор, пока есть гарантии, что границы производственных возможностей будут масштабироваться пропорционально численности населения, это предположение может быть смягчено.)

5. Предположение о сохранении предпочтений: если продукт полезный по отношению к другому в определенной точке потребления E, то первый будет полезным продуктом по отношению ко второму в любой точке потребления.

6. Предположение о вогнутости и непрерывности: функция полезности непрерывна, строго вогнута и непрерывно дифференцируема. Граница производственных возможностей непрерывна и строго вогнута, а производственная функция непрерывна и дифференцируема.

Доказательство

Возьмем двухсекторную мальтузианскую модель (см. главу 2): изолированная экономика, описываемая линией баланса численности населения, кластером кривых безразличия и кластером границ возможностей производства на душу населения.

Как показано на рис. П.2, проведем луч от начала системы координат до первого квадранта и запишем угол между этим лучом и горизонтальной осью как

Точка пересечения луча и линии баланса населения определяется k и записывается как E(k).

Рис. П.2. Наклонные функции u(k) и p(k)

Поскольку набор предпочтений полон, должна быть единственная кривая безразличия, проходящая через точку E(k). Обозначим абсолютное значение ее наклона в точке E(k) как u(k).

Должна существовать и уникальная граница производственных возможностей, проходящая через точку E(k). Обозначим абсолютное значение наклона границы производственных возможностей в точке E(k) как p(k). Поскольку граница производственных возможностей непрерывна и строго вогнута, производная p(k) меньше нуля: p'(k) < 0 — чем больше угол, тем меньше p(k).

Изобразим функции u(k) и p(k) в одной системе координат (рис. П.3, а). Тогда и только тогда, когда u(k) = p(k), экономика достигает равновесия. Поскольку u(0) < p(0), а u(π/2) > p(π/2), равновесие обеспечивается, пока u(k) непрерывно. Вдоль убывающей кривой p(k) могут возникнуть множественные состояния равновесия. Легко понять, что точка, где u(k) пересекает p(k) снизу, отражает устойчивое равновесие, а точка, где u(k) пересекает p(k) сверху, — неустойчивое. На рис. П.3, б показано неустойчивое равновесие E(k1). Когда k2 немного больше, чем k1, u(k2) на самом деле меньше, чем p(k2). Очевидно, что, когда экономика находится в точке E(k2), население должно сокращаться, а граница производства на душу — расширяться, только так можно восстановить равновесие. Следовательно, E(k1) — неустойчивое равновесие.

Рис. П.3. Неустойчивое равновесие

Если при u(k)/p(k), показанном на рисунке, есть только одно (стабильное) равновесие, то как теорема о структуре производства, так и теорема о «бесплатности» полезных продуктов, в форме А или Б, очевидно, верны. По мере того как структура производства становится все более ориентированной на полезность, граница производственных возможностей оказывается более крутой, p(k) увеличивается для каждого значения k, кривая p(k) смещается вверх. Как показано на рис. П.4, а, новое равновесие k1 должно быть больше, чем старое k0, и благосостояние на душу населения также будет выше. Когда культура общества становится более ориентированной на полезные продукты, кривая безразличия оказывается более пологой, а кривая u(k) смещается вниз. Как показано на рис. П.4, б, новое равновесие k1 также должно быть больше, чем старое k0, что соответствует более высокому благосостоянию на душу населения.

Рис. П.4. Доказательство теоремы

Однако при наличии множественных равновесий может возникнуть ситуация (рис. П.5), когда новое равновесие меньше старого. Поэтому нам нужен теоретический «обходной путь», чтобы благополучно пройти этот уровень. Их у нас два.

Рис. П.5. Проблема, вызванная состоянием множественных равновесий

Первый «обходной путь» ограничивает сценарии использования теоремы ситуациями технического прогресса. Чтобы структура производства, более ориентированная на полезные продукты, соответствовала более низкому равновесию, движение вверх p(k) должно сопровождаться крайним сокращением производства[155]. Если мы посмотрим только на технологический прогресс, а не на упадок, то сможем устранить эту аномалию (ирландский картофельный кризис — негативный технологический шок, поэтому нельзя исключать появление контрпримеров). Так мы получим теорему о структуре производства в форме А: пока экономика начинается с состояния устойчивого равновесия, положительное технологическое воздействие на полезные продукты (продукты для выживания) неизбежно будет увеличивать (уменьшать) равновесное благосостояние на душу населения.

Второй «обходной путь» идет по более строгим условиям, чтобы исключить возможность множественных равновесий. Обычно функция u(k) должна иметь наклон вверх. При таком раскладе она пересечет p(k) только один раз, что приведет к устойчивому равновесию. Предпосылка множественных равновесий состоит в том, что функция u(k) склоняется вниз. Еще одно доказательство состоит в том, что если функция u(k) склоняется вниз, то продукт для выживания оказывается товаром Гиффена. Следовательно, пока продукт для выживания не будет товаром Гиффена, u(k) не уйдет вниз и не будет многажды пересекаться с p(k), создавая множественные равновесия. В отсутствие множественных равновесий, как упоминалось ранее, теорема верна.

Доказательство теоремы о бесплатности полезных продуктов аналогично. Что и требовалось доказать.

Алгебраическая версия двухсекторной модели

Здесь мы при помощи простой алгебраической модели объясним три сравнительных статических результата для изолированной двухсекторной экономики. Типичный человек выбирает потребление продуктов для выживания x и потребление полезных продуктов y, чтобы максимизировать функцию полезности Кобба — Дугласа:

max U(x, y) = x1–βyβ.