Наставница Эйнштейна. Как Эмми Нётер изобрела современную физику - Ли Филлипс

более систематический математический стиль Фейнман ассоциирует с греками. Примером его являются «Начала» Евклида, бессмертное изложение и собрание всех геометрических знаний древних греков.

Разумеется, открытая (или изобретенная – в зависимости от того, какой именно философии математики вы придерживаетесь) Гильбертом математика была чрезвычайно полезна для всех областей физики. И она продолжит оставаться полезной, покуда математика будет языком науки. От гильбертова пространства до интегральных уравнений – теоретическая физика выглядела бы совсем иначе без вклада, сделанного Гильбертом в развитие ее аппарата. И эти глубокие математические озарения зачастую оказывали очевидное влияние на физику, и не только на общую теорию относительности.

По этим и иным причинам о Гильберте говорят подчас как о последнем выдающемся универсалисте в истории математики. Один историк описал его как человека, приведшего математику из XIX в XX век[203].

Другие симметрии

Теорема Нётер применима к иным симметриям помимо тех, что имеют очевидную физическую интерпретацию (как, например, инвариантность временно́го сдвига и другие только что обсуждавшиеся виды симметрии).

Чтобы в полной мере оценить значение теоремы, нам нужно увидеть, что она применима к иным видам симметрии, не забывая при этом общего определения симметрии, которым мы теперь располагаем. Как мы увидим в седьмой и восьмой главах, ее применение к более абстрактным, определяемым математически симметриям имело два важных результата. Во-первых, это позволило теореме стать основанием для наших современных теорий вещества и, во-вторых, позволило применять теорему за границами области физических наук.

Симметрии, на которые я ссылаюсь, более абстрактны. Они не предполагают пространства и времени, но связаны с другими свойствами объектов или систем. Чтобы распробовать, на что похожи некоторые из этих типов симметрий, мы рассмотрим пример из повседневной жизни, касающийся электричества.

Случалось ли вам видеть птицу, усаживающуюся на высоковольтную линию электропередачи, и спрашивать себя, как ей удается избежать удара током? Объясняется это тем, что лишь разница напряжений приводит к физическому воздействию. Этим воздействием является электрический ток – так мы называем движение заряда. Все знакомые нам способы использования электричества и злоупотребления им являются результатом токов, текущих сквозь разные объекты: бегущий по проволоке ток ее разогревает – явление, используемое при изготовлении обогревателей, кипятильников и электрических печей; проходящий по проводу меняющийся ток создает магнитное поле, благодаря чему производятся двигатели и громкоговорители; если направить ток по тонкой проволочке, то она настолько разогреется, что начнет светиться – и вот вам старомодные лампы накаливания. В этих примерах движущийся заряд принимает форму электронов, бегущих по металлу. В нервной системе заряды – это ионы (атомы, у которых электронов меньше, чем протонов), а ионные токи приводят к сокращению мускулов, посылают сигналы в мозг и, в наиболее тяжелых случаях, приводят к тому, что люди пишут книги.

Даже несильный электрический ток, пропущенный сквозь сердце животного, может фатальным образом нарушить его биение. Однако птичка продолжает щебетать. Она способна на это, поскольку все вышеупомянутые токи движутся из-за разницы напряжений между двумя точками пространства. Знак на столбе электропередачи предупреждает о пугающе высоком напряжении, но это – разница напряжений между проводом и землей, на которой мы стоим. Если мы или что-то, что мы держим в руках (например, лестница), коснется проволоки, пока мы стоим на земле, нас поджарит – эта разница напряжений прогонит по телу электрический ток.

Птица обеими лапами касается провода и не находится в контакте с землей. Конечно, имеет место небольшая разница напряжений между ее двумя лапками из-за того, что сопротивление проводника не равно нулю, а потому через птичье тело будет бежать очень слабый ток. Но этот мизерный поток электронов не потревожит пернатое создание: оно и дальше будет пребывать в состоянии блаженного неведения о законах электродинамики.

То, что я называл напряжением, – это форма энергии, известная в теории электрического и магнитного поля как электрический потенциал. Она подобна гравитационной потенциальной энергии, которую вы обретаете каждый раз, когда поднимаетесь в лифте. И, как и в случае гравитации, этот электрический потенциал можно превратить в равное количество кинетической энергии (энергии движения), что случается, если лифт ломается и падает. Я описываю идеальную трагедию в ситуации, когда отсутствует трение; в реальности часть потенциальной энергии превратилась бы в тепло, звук и деформацию материалов.

В этом и состоит связь с симметрией и теоремой Нётер: то, что нам не важно значение электрического потенциала в любой точке – это своего рода симметрия. Мы учились воспринимать то, что нам не важно (с какого момента начинается отсчет времени или нумерация этажей здания), как форму симметрии: изменение или сдвиг начала отсчета не приводит к изменениям. Электрическое напряжение – еще один пример, когда точка отсчета или абсолютное значение величины не оказывает влияния и потому также представляет собой еще одну форму симметрии.

Что касается времени, нам известно, что, благодаря теореме, симметрия приводит к закону сохранения энергии. Оказывается, в силу устройства теоремы ясно, что симметрия в электрическом потенциале эквивалентна закону сохранения заряда. Это еще один фундаментальный закон сохранения, подобный закону сохранения массы. Долгое время его воспринимали как просто еще одно правило, в соответствии с которым устроен мир. Закон сохранения заряда означает, что в любой системе и для любого набора несущих заряд объектов суммарный заряд (разница между суммами положительных и отрицательных зарядов) всегда остается неизменной. Заряд нельзя создать или разрушить.

До того как была сформулирована теорема Нётер, два этих фундаментальных аспекта устройства Вселенной, симметрия напряжений и сохранение заряда, казались двумя отдельными принципами. Теорема показывает, что два эти явления природы являются в фундаментальном смысле одним и тем же явлением, демонстрируя тайную и прежде невообразимую связь между двумя принципами, которые казались независимыми друг от друга.

Равнозначность симметрии электрического потенциала и закона сохранения заряда – это еще одно удивительное и фундаментальное открытие, сделанное благодаря теореме Нётер. Без этой равнозначности сохранение заряда, как и сохранение энергии, было бы чем-то условным. Наши наблюдения показывают, что закон сохранения заряда верен, но могло бы быть и по-другому. Симметрия энергии электрического потенциала не зависит от наблюдений, а глубоко заложена в структуру теории. Показывая, что закон сохранения заряда с математической точки зрения эквивалентен симметрии потенциальной энергии, теорема Нётер демонстрирует, что ключевой аспект наблюдаемой реальности (то, что заряд нельзя ни создать, ни разрушить) – безальтернативен. То есть, если уравнения Максвелла, определяющие сущность электричества и магнетизма, и в самом деле описывают реальность, то эта реальность должна включать в себя закон сохранения заряда.

Как и в случае ньютоновской механики, теорема Нётер вновь пролила яркий свет на старую, общепризнанную теорию, осветив ее изнутри. Теорема, наконец, открывает ее скрытую структуру, таящиеся в ней симметрии,